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音频（一）时域图、 频谱图 Spectrum(音频的时域波形)
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1.1 声音信号是一维的时域信号，无法观察出频率随时间的变化规律。
动态信号x(t): 是描述信号在不同时刻取值的函数, 其中t是自变量；
即横轴代表时间， 纵轴是信号的变化（振幅）。
2. 信号的频域分析信号通过傅里叶变换把它变到频域上，可以看出信号的频率成分；
横轴代表各个频率成分， 纵轴： 信号的幅度值。 是一个时间平均（time average）概念。
2.1 频谱图简单地说，任何信号（当然要满足一定的数学条件），都可以通过傅立叶变换而分解成一个直流分量（也就是一个常数）和若干个（一般是无穷多个）正弦信号的和。
每个正弦分量都有自己的频率和幅值； 这样，以频率值作横轴，以幅值作纵轴， 把上述若干个正弦信号的幅值画在其所对应的频率上，就做出了信号的幅频分布图，也就是所谓频谱图 。
2.3 频谱图类型在实际使用中，频谱图有三种，即
线性振幅谱、对数振幅谱、自功率谱.其中， 对数振幅谱中各谱线的振幅都作了对数计算，所以其纵坐标的单位是dB（分贝）, 这个变换的目的是使那些振幅较低的成分相对高振幅成分得以拉高，以便观察掩盖在低幅噪声中的周期信号。
2.4 相频分布：横坐标： 频率 ； 纵坐标： 相位；
3. 功率谱3.1 功率谱定义功率谱可以从两方面来定义，
一个是自相关函数的傅立叶变换，第一种定义就是常说的维纳辛钦定理。
另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度。
第二种其实从能量谱密度来的。 根据parseval定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。
3.2 功率谱性质功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）
功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
在频域分析信号分两种： （1）.对确定性信号进行傅里叶变换，分析频谱信息。 （2）.随机信号的傅里叶信号不存在，转向研究它的功率谱。随机信号的功率谱和自相关函数是傅里叶变换对（即维纳辛钦定理）。功率谱估计有很多种方法；
4. 时域与频域的关系 （FFT）4.1 相位与振幅如下面静态图所示:
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。 任意时刻的相位 为 ϕ\phiϕ ; 任意时间的 幅度值： 振幅A × sin ϕ\phiϕ
sin = 对边/ 斜边； 对边 = sin × 斜边
4.2 频域的基本单元如下图所示: 频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
4.3 FFT过程举例， 矩形波的 FFT过程：
任意波形FFT：
4.4 相位差：相位差 = (时间差 / 周期 ) × 2 π\piπ 图中， 小红点是距离频率轴最近的波峰， 我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Π或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘 2Π，就得到了相位差。
4.5 矩形波在时域、频域和相位的表现形式：5. 时频域分析5.1 时频域分析：频谱虽然可以看出信号的频率分布， 但是丢失了时域信息，无法看出频率分布随时间的变化。
为了解决这个问题，很多时频域分析手段应运而生。
短时傅里叶，小波，Wigner分布等都是常用的时频域分析方法。
5.2 STFT的原理:把一段长信号分帧、加窗，对每一帧做傅里叶变换（FFT）.短时傅里叶变换，是对短时的信号做傅里叶变换。 短时的信号怎么得到? —> 是长时的信号分帧得来的。
5.3 实现：python可以使用scipy库中的signal模块。
如果做STFT分解的音频信号（wav文件）的路径存在path变量中，可通过下面的代码得到STFT数据。
import wavioimport numpy as npfrom scipy import signalwav_struct=wavio.read(path)wav=wav_struct.data.astype(float)/np.power(2,wav_struct.sampwidth*8-1)[f,t,X]=signal.spectral.spectrogram(wav,np.hamming(1024),nperseg=1024,noverlap=0,detrend=False,return_onesided=True,mode='magnitude')关于signal模块中spectrogram的使用方法和各个参数的具体意义，参见
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.spectrogram.html#scipy.signal.spectrogram
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