Gumbel-Softmax完全解析

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本文对大部分人来说可能仅仅起到科普的作用，因为Gumbel-Max仅在部分领域会用到，例如GAN、VAE等。笔者是在研究EMNLP上的一篇论文时，看到其中有用Gumbel-Softmax公式解决对一个概率分布进行采样无法求导的问题，故想到对Gumbel-Softmax做一个总结，由此写下本文

假设现在我们有一个离散随机变量ZZZ的分布 p1=p(Z=1)=π1p2=p(Z=2)=π2p3=p(Z=3)=π3...px=p(Z=x)=πxp_1 = p(Z=1)=\pi_1\\ p_2 = p(Z=2) = \pi_2\\ p_3 = p(Z=3) = \pi_3\\ ...\\ p_x = p(Z=x) = \pi_x\\p1​=p(Z=1)=π1​p2​=p(Z=2)=π2​p3​=p(Z=3)=π3​...px​=p(Z=x)=πx​ 其中，∑iπi=1\sum_i \pi_i=1∑i​πi​=1。我们想根据p1,p2,...,pxp_1,p_2,...,p_xp1​,p2​,...,px​的概率采样得到一系列离散zzz的值。但是这么做有一个问题，我们采样出来的zzz只有值，没有生成zzz的式子。例如我们要求ZZZ的期望，那么就有公式 E(Z)=p1+2p2+⋯+xpx\mathbb{E}(Z) = p_1 + 2p_2 + \cdots +xp_xE(Z)=p1​+2p2​+⋯+xpx​ ZZZ对p1,p2,...,pxp_1,p_2,...,p_xp1​,p2​,...,px​的导数都很清楚。但是现在我们的需求是采样一些具体的zzz值，采样这个操作没有任何公式，因此也就无法求导。于是一个很自然的想法就产生了，我们能不能给一个以p1,p2,...,pzp_1,p_2,...,p_zp1​,p2​,...,pz​为参数的公式，让这个公式返回的结果是zzz采样的结果呢？

一般来说πi\pi_iπi​是通过神经网络预测对于类别iii的概率，这在分类问题中非常常见，假设我们将一个样本送入模型，最后输出的概率分布为[0.2,0.4,0.1,0.2,0.1][0.2, 0.4,0.1,0.2,0.1][0.2,0.4,0.1,0.2,0.1]，表明这是一个5分类问题，其中概率最大的是第2类，到这一步，我们直接通过argmax就能获得结果了，但现在我们不是预测问题，而是一个采样问题。对于模型来说，直接取出概率最大的就可以了，但对我们来说，每个类别都是有一定概率的，我们想根据这个概率来进行采样，而不是直接简单无脑的输出概率最大的值

最常见的采样z\mathbf{z}z的onehot公式为 z=onehot(max⁡{i∣π1+π2+⋯+πi−1≤u})(1)\mathbf{z} = \text{onehot}(\max \{i\mid \pi_1 + \pi_2+\cdots +\pi_{i-1} \leq u\})\tag{1}z=onehot(max{i∣π1​+π2​+⋯+πi−1​≤u})(1) 其中i=1,2,..,xi=1,2,..,xi=1,2,..,x是类别的下标，随机变量uuu服从均匀分布U(,1)U(0,1)U(0,1)

上面这个过程实际上是很巧妙的，我们将概率分布从前往后不断加起来，当加到πi\pi_iπi​时超过了某个随机值$ 0\leq u \leq 1，那么这一次随机采样过程，，那么这一次随机采样过程，，那么这一次随机采样过程，z就被随机采样为第就被随机采样为第就被随机采样为第i$类，最后通过一个onehot变换

但是上述公式存在一个致命的问题：max函数是不可导的

Gumbel-Max技巧就是解决max函数不可导问题的，我们可以用argmax替换max，即 z=onehot(argmaxi{gi+log⁡πi})(2)\mathbf{z} = \text{onehot}(\mathop{\text{argmax}}\limits_{i} \{g_i + \log \pi_i\})\tag{2}z=onehot(iargmax​{gi​+logπi​})(2) 其中，gi=−log⁡(−log⁡(ui)),ui∼U(,1)g_i=-\log(-\log(u_i)), u_i \sim U(0,1)gi​=−log(−log(ui​)),ui​∼U(0,1)，这一项名为Gumbel噪声，或者叫Gumbel分布，目的是使得z\mathbf{z}z的返回结果不固定

可以看到式(2)(2)(2)的整个过程中，不可导的部分只有argmax，实际上我们可以用可导的softmax函数，在参数τ\tauτ的控制下逼近argmax，最终ziz_izi​的公式为 zi=exp⁡(gi+log⁡πiτ)∑jxexp⁡(gj+log⁡πjτ)(3)z_i = \frac{\exp(\frac{g_i + \log \pi_i}{\tau})}{\sum_{j}^x\exp(\frac{g_j + \log \pi_j}{\tau})}\tag{3}zi​=∑jx​exp(τgj​+logπj​​)exp(τgi​+logπi​​)​(3) 其中，τ\tauτ越小(τ→)(\tau \to 0)(τ→0)，整个softmax越光滑逼近argmax，并且z={zi∣i=1,2,...,x}\mathbf{z} = \{z_i\mid i=1,2,...,x\}z={zi​∣i=1,2,...,x}也越接近onehot向量；τ\tauτ越大(τ→∞)(\tau \to \infty)(τ→∞)，z\mathbf{z}z向量越接近于均匀分布

整个过程相当于我们把不可导的取样过程，从z\mathbf{z}z本身转移到了求z\mathbf{z}z的公式中的一项gig_igi​中，而gig_igi​本身不依赖p1,..,pxp_1,..,p_xp1​,..,px​，所以zzz对p1,...,pxp_1,...,p_xp1​,...,px​就可以到了，而且我们得到的z\mathbf{z}z仍然是离散概率分布的采样。这种采样过程转嫁的技巧有一个专有名词，叫重参数化技巧（Reparameterization Trick）